Šah, potence in Jurčič
Chess, exponentiation and Jurčič
Dragica Šteh; OŠ Stična
Povzetek:
Vedno se začne z zgodbo. Z motivacijo. Z močjo asociacij, ki poslušalca pelje izven predvidljivega območja, ki izstopa iz znanih okvirjev in nas pričaka na razkošnem poligonu povezav, izkušenj, zgodovinskih spominov in čudenja. Ta zgodba nas vodi po šahovnici in odkriva lepoto matematike. V njenih številskih razsežnostih, v veličini matematičnih dognanj in lepoti geometrijskih vzorcev. Od tam, pa do domačega praga, do besede, ki vodi v te skrivnosti. Do iskrive, bogate, opisno duhovite in slovstveno dovršene slovenske besede in do človeka, ki je s prvim slovenskim romanom in s svojim delom na mestu urednika Slovenskega naroda to besedo postavil na žlahtno in častno mesto.
Abstract:
In the beginning there is always a story and motivation. There is a power of associations the takes us outside of the world we know, the power which makes us look deeper and makes us see the connections, experiences, historical facts and memories. This story is leading threw chessboard and discovers the beauty of mathematics. There is a beautiful secret In numbers, shapes and science. And we cannot go there without words. There must be juicy and powerful language like we used to read in Slovenian first novelist Josip Jurčič.
Ključne besede: domovina, Josip Jurčič, matematika, potence, šah, vrednote
Key words: chess, exponentation, homeland, Josip Jurčič, mathematics, values
»Figura, ki so ji dovoljeni velikopotezni premiki, ponazarja domoljubni duh ljudstva.«
Malba Tahan, Mož, ki je računal
1. Uvod
V prispevku želim prikazati povezavo med splošnim in konkretnim matematičnim znanjem in načini, da pri učencih spodbujamo željo po znanju. V razlago matematičnih zakonitosti vključujem zgodbe, ki vzbujajo zanimanje, hkrati pa krepijo preprosta in neizpodbitna domovinska čustva. V prispevku se navezujem na konkreten primer potenc.
2. Pouk matematike
2.1 Skrivnostni svet števil
Pouk pri matematiki na prvi pogled težko povežemo z ljubeznijo do domovine. Za nekatere dokaj suhoparna znanost drugim predstavlja znanstveno osnovo za raziskovanje in številna uporabna dognanja. In začne se že pri številih in štetju. »Nemogoče je ostati neopredeljen do števil. Nekateri jih razdraženo zavračajo, spet drugi pa se z njimi ukvarjajo z užitkom. Kako bi naj ne bili očarani ob njihovih skrivnostih in ugankah, še vedno nedognanih po dvajsetih stoletjih raziskovanja in proučevanja.« (Guillemont, 1999, str.9)
Prvi korak pri poučevanju matematike je torej vedno – zbuditi zanimanje. Zanimanje rodi čudenje in čudenje rodi spoštovanje. V čudenju in spoštovanju pa se poleg odkrivanja matematičnih zakonitosti in večno veljavnih resnic ponudi tudi priložnost za spoznavanje občih vrednot neke družbe in naroda. Tako kot se učenci pri pouku na videz enostavno, preko igre in simbolov, srečajo z različnimi številskimi sestavi, z razmišljanjem starih Grkov, Arabcev in Egipčanov, tako preprosto je v teorijo, iskrivo zanimivost števil in lepoto geometrijskih vzorcev vtkati spoštovanje do slovenskega jezika in kulture. In ravno spoštovanje do modrosti drugih narodov je temelj samospoštovanja. Opažam namreč, da je splošno vzdušje družbe, ki se preslikuje tudi na otroke in mladostnike, večkrat prepojeno z malodušjem in občutkom manjvrednosti. Anselm Grün v knjigi Razvijanje lastne vrednosti predstavlja pojem ‘sebstvo’ kot občutenje, doživljanje, izražanje in uveljavljanje lastne vrednosti: »Naše sebstvo vedno iščemo zunaj sebe, v zunanjih potrditvah, v zunanjih uspehih, v zunanji gotovosti. Najdemo pa ga lahko le v notranjem svetu naše duše, v naši resnični domovini« (Grün, 2015, str.27).
2.2 Izkušnje
Vzgoja za ljubezen do domovine je torej pravzaprav vzgoja za zdravo samospoštovanje, za razvijanje čuta za prav in dobro, za vztrajno spodbujanje k plemenitim dejanjem in za rahločutno, a samozavestno gradnjo skupne narodne identitete. Zato vzgoja za ljubezen do domovine nikakor ne more biti samo poglavje v učnem načrtu družboslovnih predmetov ali bolj ali manj posrečeno izbranih obveznih in neobveznih predmetov, ampak mora postati kulisa, oder in scena za vse učne ure v slovenskih šolah.
V svoji dvajsetletni karieri poučevanja matematike – najprej na Srednji šoli Josipa Jurčiča v različnih programih, od poklicnih, tehničnih in gimnazijskih in zdaj na Osnovni šoli Stična, opažam zanimiv skupni imenovalec uspešnih, torej strokovno korektnih, didaktično ustreznih in vzgojno koristnih učnih ur. To je karizma učitelja, ki jo krepi razgiban, bogat, včasih celo nekonvencionalen jezik. Bolj kot je besedišče pestro, več kot je zanimivih citatov, zgodb, anekdot, legend, življenjepisov, toliko bolj se učenci trudijo za razumevanje zakonitosti in več si zapomnijo od razlage. Z lepo slovensko besedo in vključevanjem tem, ki pomagajo krepiti spoštovanje do slovenske naravne in kulturne dediščine, lahko torej tudi pri matematiki vzgajamo za ljubezen do domovine. In letošnje šolsko leto bo imelo še nekaj širši poligon za umeščanje domovinskih tem, saj je vlada Republike Slovenije leto 2021 imenovala za Jurčičevo leto.
2.3 Učna ura ‘Potence’
6. razred osnovne šole, sredi šolskega leta. Na tablo napišem naslov Potence. Iz razreda se zasliši nekaj tradicionalnih vzdihljajev v pričakovanju nečesa nerazumljivega, pogled po učencih pa odkrije tudi nekaj iskric v očeh in skrivnostno pričakovanje.
Začnem z zgodbo:
»Nekoč je v Indiji živel bogat in zelo plemenit knez. V strašni vojni je izdelal sijajen vojaški načrt in porazil sovražnika. Toda potrebne so bile številne žrtve in življenje je v prvih bojnih vrstah izgubil tudi knezov ljubljeni sin edinec. Po koncu vojne si je kraljestvo opomoglo in se vsestransko utrdilo v moči, gospodarskem in kulturnem razcvetu. Vladar pa je dneve in noči razmišljal o svoji vojaški taktiki in postajal čedalje bolj žalosten zaradi izgube edinorojenca. V pesek na tleh je vrisoval položaj svojih in sovražnih vojakov in preigraval scenarije, po katerih bi lahko zmagal brez tako velikih žrtev. Dvorne svetovalce je vse bolj skrbelo vladarjevo zdravje. Nekega dne pa se je na obisk najavil mladi brahman[1] Sisa Ben Dahir. Vladarju je, tako kot se za obiskovalca spodobi, prinesel darilo. To je bila kvadratna tabla, razdeljena na 64 skladnih kvadratov, s skrbno razpostavljenimi figuricami, v dveh barvah – beli in črni. Figure so bile razpostavljene simetrično, po poljih pa so se lahko premikale po natančnih pravilih. Sisa Ben Dahir je knezu in dvorjanom razložil pravila. Igrata dva igralca, vsak ima po 8 najmanjših figuric, kmetov. Ti predstavljajo pehoto, ki počasi napreduje proti nasprotni ekipi in jo skuša izriniti iz igrišča. Napad podpirata trdnjavi, nepogrešljiva je konjenica, ki lahko preskakuje druge figure. Okrepitev prestavljata lovca. Figura pa, ki so ji dovoljeni velikopotezni premiki, ponazarja domoljubni duh ljudstva. To je kraljica. Zadnja figura je kralj, ki ima sam po sebi malo moči, oblast in moč pa dobi, če jo podpirajo druge figure. Knez je bil nad igro navdušen. Kmalu je obvladal pravila in premagal vse svoje vezirje. Med samo igro pa se ni samo zamotil in vsaj za hip pozabil na svojo žalost, temveč prišel do pomembnega spoznanja. Za zmago je bilo potrebno žrtvovati figure na šahovnici. Tudi zelo pomembne. Spoznal je tudi to, da bi sam v boju zoper sovražnika na bojnem polju ne imel nobene možnosti za zmago. Zato je žalovanje za izgubljenim sinom in velikimi vojnimi žrtvami zamenjal za hvaležnost vsem, ki ga podpirajo. Mlademu brahmanu pa je obljubil bogato nagrado. Mladi mož ni ničesar. Na vladarjevo vztrajanje pa si je za plačilo izbral – pšenico. Rekel je, da naj na prvo polje igralne plošče položijo eno pšenično zrno, na drugo polje, dve zrni, na tretje 4 in tako naprej do zadnjega 64. polja. Vladar se je čudil nesmiselni skromnosti mladega moža, vendar je bil odločen izpolniti obljubo. Sklical je modre može, vešče računanja in jim zaupal nalogo računanja in štetja pšeničnih zrn za plačilo nagrade.«(Tahan, 1998, str.92)
Na tem mestu se tudi običajnim razrednim skeptikom rahlo svetijo oči. Razred se razdeli na dve skupini. Tista, ki se strinja, da je bil mladi mož, ki je kralju prinesel tako izjemno darilo, preveč skromen, če ne celo neumen, saj bi si lahko izbral mnogo bolj vredno plačilo. Da o polovici kraljestva in takih rečeh, ki jih srečamo v pravljicah, sploh ne govorimo, Drugo polovico pa bolj kot vse drugo zanima končno število pšeničnih zrn. Med njimi sta po navadi vsaj dva, ki obvladata šah in se navdušujeta še nad samo poanto igre, taktiko, smislom žrtvovanja figur in podobno – a do tam še pridemo. Pod naslov Potence zapišemo število 2. In ga množimo s samim seboj. Učenci so hitri, računajo na pamet.
…
In se čudimo, da se rezultat neverjetno hitro povečuje. Temu rečemo eksponentna rast. Razred, ki se je vrnil v šolske klopi po korona času šolskega leta 2019/20, je besedo eksponentno razumel bolje kot katerakoli prejšnja generacija. Rezultat pri sedmem koraku, predstavlja število pšeničnih zrn na zadnjem polju prve vrstice, to je 128 zrn. Nič posebnega, komentira skupina skeptikov, ki še vedno zavija z očmi, češ da bi si nesrečnik lahko izbral vsaj mošnjiček dragih kamnov ali česa podobnega. Računamo naprej. Sposobnosti množenja ne olajšajo čedalje večjega napora pisanja velikih števil. Počasi nam postane jasno, da rezultati postajajo preveliki.
Na zadnjem, štiriinšestdesetem mestu šahovnice bi moralo biti
pšeničnih zrn, kar predstavlja 9 223 372 036 854 775 808 zrn.
Nadaljujem z zgodbo: »Modri možje so se z izračuni vrnili k vladarju. Bili so v veliki zadregi. Število pšeničnih zrn, ki bi jih morali položiti na šahovnico, je presenetilo tudi njih. Misleč, da bodo mladega brahmana odpravili z nekaj vrečami žita, so morali vladarju priznati, da nagrade ni moč izplačati. Bin Dahirju bi morali dati goro žita, katere osnovna ploskev bi morala biti enaka površini države Taligana[2], njena višina pa bi morala biti stokrat višja od Himalaje. Kralj je osramočen spoznal, da ne more izpolniti obljube in spoznal tudi to, kako pomembno je, da ne sodimo vnaprej in da znamo skrbno premisliti svoje obljube. Brahmana je imenoval za svojega vezirja in svetovalca in legenda pravi, da se je kraljestvo krepilo v moči in slavi.« (Malba Tahan, 1998, str. 99)
Tista polovica razreda, ki je godrnjala nad skromnostjo in je legendo o šahu poslušala iz bolj leposlovnega in pravljičnega stališča, zaključek nekako pomiri. Sisa Bin Dahir dobi nagrado, pomemben položaj v kraljestvu in očitno tudi bogastvo in slavo ter vse ostalo, kar temu pritiče. Kar nekaj tistih iz druge polovice še vedno računa in se ne more sprijazniti z dejstvom, da številke dobesedno zbežijo v nepredstavljive dimenzije. In medtem ko razredna navdušenca za šah kujeta načrte za razredni turnir, omenim še nekaj zgodovinsko zanimivih matematičnih problemov, ki že stoletja burijo predvsem levo polovico človeških možganov. Na primer iracionalnost kvadratnih korenov in kvadratura kroga. A to je že druga snov. Toda, če se vrnemo na ‘sebstvo’ po Anselmu Grünu, je ravno radovednost in želja po odkrivanju lastnih možnosti in meja razuma, ena od posebej svetlih poti, ki nam pomaga razvijati zdravo samozavest.
2.4 Vključevanje zgodb, ki jih poznamo
Tako smo se sredi matematične ure znašli na zanimivem poligonu učenja potenc, šahovskih pravil in vojaških taktik. In tu se nam pridruži še prvi slovenski romanopisec, Josip Jurčič, mojster fabule, zapletov, zarot, iskanja rešitev in za današnji čas skoraj nerazumne logike življenjskih prioritet. Kot na primer njegov Deseti brat, ki matematično povezavo ponudi že v naslovu. Le kaj je na številu 10, da ima tudi v ljudskih pripovedih tako posebno mesto. Poleg ‘desetega brata’ poznamo tudi ‘desetnico’. Število 10 je osnova desetiškega sistema, ki ga večinsko uporabljamo ne samo pri matematiki, ampak tudi v vsakdanjem življenju, kjer se pojavljajo števila. Za desetiški sistem se imamo zahvaliti 10 prstom na roki, s pomočjo katerih še vedno marsikdaj računamo.
Kot zanimivost povejmo, da se število 10 v Svetem pismu pojavi sto šestindevetdesetkrat v 179 vrsticah. Najbolj znamenitih je seveda 10 božjih zapovedi ali dekalog, predpona deka, pa pomeni desetkratnik (dekagram = 10 gramov ipd).
Jurčičev Deseti brat ima 25 poglavij. Hitro najdemo številsko povezavo:
in Ali se v številkah kaže Jurčičeva naklonjenost matematiki, je seveda skrivnost. Ni pa skrivnost zgodba junaka prvega slovenskega romana, ki mu je bilo ime Martinek Spak in sploh ni bil deseti brat. Ime si je nadel zato, ker je zaradi težke usode nezakonskega otroka moral po svetu. Iskal je zadoščenje za krivico, ki se je zgodila njemu in njegovi materi. Zgodba sama je dramatična pripoved o pohlepu, krivicah in prepletanju človeških usod. Zdi se, da tudi Jurčič v pripovedi skrbno prestavlja figure po šahovnici življenja. Da natančno določa pravila vedenja svojih junakov in jim dopušča, da spregledajo svoje napake in zadostijo pravici. Še ena matematična prvina se pojavi v romanu. Dvojnost. Dve okolji – grajsko in vaško. Celo jezik je dvojen – v grajskem okolju uporablja meščanski jezik tedanjega česa – druge polovice 19. stoletja, v vaškem pa izviren, slikovit narečni jezik, podkrepljen s humornimi elementi vaškega posebneža Krjavlja. Tudi iz stališča literarne teorije je roman dvojen: romantično – realističen. Romantična je ljubezen med graščakovo hčerjo Manico in učiteljem Lovrom, realistični pa so opisi vaških dogodkov, stiska in žalostni zaključek s smrtjo desetega brata.
2.5 Vzgoja za spoštovanje doma, domovine, domačega
Ko se čudimo legendi o izvoru šaha, ki nas popelje na domišljijsko pot do Indije, z malo truda najdemo navdih tudi pri Jurčiču. Vzporednica z legendo o šahu je na dlani. V njej najdemo romantično zgodbo o boju in žrtvah ter realistično izpeljavo matematične zakonitosti. Dvojnost, torej, ki jo ves čas odkrivamo, doživljamo in živimo tudi v sedanjem svetu. Dom na eni strani in svet na drugi. Odgovornost, trud in delo, ki ga moramo vložiti za ohranitev lastnega značaja in privlačnost modernega, posplošenega in globalno poenotenega sveta. Dvojnost jezika, s katerim se srečujemo in ga čedalje bolj uporabljamo v vsakdanjem življenju. Hitra sporočila, kratice, slengovski izrazi, ki niso več lastni samo mladostnikom, ampak jih zaradi vsesplošne uporabe elektronskih sredstev ter družbenih omrežij uporabljamo vsi. In jezik, ki bi ga vendarle morali ohraniti. V živi govorni obliki, ki se sproščeno drži slovničnih pravil, se trudi za besedno raznolikost in pestrost in tudi za zapisani jezik, ki mu vrednost dviguje še dejstvo, da imajo datoteke lahko zelo dolg rok trajanja. Še eno dvojnost lahko zasledimo na vseh ravneh človeškega bivanja. Tudi v šolskem okolju. Pogum in strah. V Trstenjakovi knjigi Biti človek beremo, da se pogum enači s srčnostjo, ki vsebuje tudi upanje. »Brez poguma se ne da živeti. Brez poguma ni obstoja.« (Trstenjak, 1989, str. 163)
Pogum je gotovo zelo močna motivacija za iskanje drugačnih pedagoških pristopov in poti. Vzgajati za ljubezen do domovine bi moral biti eden od temeljnih ciljev vseh predmetov na šolskem urniku. Tako kot olika, bonton, skrb za zdravje, tudi domovinska drža, ki ni povsem samoumevna. In za katero vzgajamo preko zgodb, zgleda spoštovanja preteklosti ter preko spoznavanja in aktivnega ohranjanja kulturne dediščine.
3. Zaključek
Biti učitelj je v prvi vrsti izjemno poslanstvo. Stati pred razredom zvedavih ali brezbrižnih, vzgojenih ali vzgojno zahtevnih učencev je privilegij priložnosti, da prižgemo ali razpihamo iskre radovednosti in pripravljenosti na pustolovščino učenja. Četudi se učni načrt pri matematiki bistveno ne spreminja, pa se spreminjajo generacije, spreminjajo se časi in celo okoliščine. Zato se vsakemu razredu tančica pred neznano snovjo odpira drugače. Pri nekaterih se takoj prižgejo iskrice zanimanja, drugi brezbrižno preždijo učne ure in oživijo le v kampanjskem delu pridobivanja ocen. Tudi ti predstavljajo svojevrsten izziv. Zgodbe, legende, pripovedi in navidezno nelogične povezave z drugimi učnimi predmeti so vedno dobra motivacija in spodbuda za učenje nečesa novega.
V prispevku sem želela predstaviti svoj način podajanja matematike, ki temelji na želji, da bi vsaj malo zamajali stereotip o suhoparni in togi matematiki. Ob tem pa želim pri svojih učencev spodbuditi željo po raziskovanju vsega, kar nam v življenju dviga duha. Predvsem pa si želim, da bi kot učiteljica z lepo slovensko besedo, s spoštovanjem naravne in kulturne dediščine, z umešanjem pomena znanosti in umetnosti za naš svet in čas, postaviti standard, ki bi mu učenci zaupali in sledili.
Viri
Guillemont Michel (1999): Zgodovina matematike, zgodbe o problemih, Ljubljana, DMFA
Grün Anselm (2015) ; Razvijanje lastne vrednosti, Maribor, Slomškova založba
Tahan, Malba (1989), Mož, ki je računal, Ljubljana, Vale – Novak
Trstenjak Anton (1989), Biti človek, Ljubljana,. Cankarjeva založba
Biblija.net
[1] Brahman – indijski modrec
[2] Ena od pokrajin v Indiji
